如果关于x的方程ax+1x2=3有且仅有一个正实数解,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,0)B.{a|a≤0或a=2}C.(0,+∞)D.{a|a≥0或a
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如果关于x的方程ax+1x2=3有且仅有一个正实数解,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,0)B.{a|a≤0或a=2}C.(0,+∞)D.{a|a≥0或a
题型:单选题
难度:简单
来源:不详
如果关于x的方程
ax+
1
x
2
=3
有且仅有一个正实数解,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,0)
B.{a|a≤0或a=2}
C.(0,+∞)
D.{a|a≥0或a=-2}
答案
∵x≠0,
所以ax+
1
x
2
=3与ax
3
-3x
2
+1=0的解完全相同(易知0不是后一个方程的解)
令f(x)=ax
3
-3x
2
+1
则“
ax+
1
x
2
=3
有且仅有一个正数解”与“f(x)的图象与x正半轴有且仅有一个交点”等价.
∵f"(x)=3x(ax-2)
当a=0时,代入原方程知此时仅有一个正数解
3
3
;
当a>0时,令f"(x)>0,f"(x)<0,
得f(x)在(-∞,0)和(
2
a
,+∞)上单调递增,在(0,
2
a
)上单调递减,
f(0)=1,知若要满足条件只有x=
2
a
时f(x)取到极小值0.
x=
2
a
代入原方程得到正数解a=2;
当a<0时,同理f(x)在(-∞,
2
a
)和(0,+∞)上单调递增,在(
2
a
,0)上单调递减,
f(0)=1>0,所以此时不存在满足条件的a
故实数a的取值范围是(0,+∞)
故选C.
举一反三
已知函数f(x)的导函数f′(x)=2x-9,且f(0)的值为整数,当x∈(n,n+1](n∈N
*
)时,f(x)的值为整数的个数有且只有1个,则n=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知定义在R上的函数f(x)=ax
3
+bx+c(a,b,c∈R),当x=-1时,f(x)取得极大值3,f(0)=1.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)已知实数t能使函数f(x)在区间(t,t+3)上既能取到极大值,又能取到极小值,记所有的实数t组成的集合为M.请判断函数
g(x)=
f(x)
x
(x∈M)
的零点个数.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知x
0
为函数f(x)=(
1
5
)
x
-log
2
x的零点,若0<x
1
<x
0
,则f(x
1
)的值为( )
A.为负值
B.为正值
C.等于零
D.不确定
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知函数f(x)=-x
3
+ax-4在x=
4
3
处取极值.
(I)求实数a的值;
(II)关于x的方程f(x)=m在[-1,1]上恰有两个不同的实数根,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=x
4
-4x
3
+ax
2
-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减.
(1)求a的值;
(2)记g(x)=bx
2
-1,若方程f(x)=g(x)的解集恰有3个元素,求b的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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