已知函数f(x)的导函数f′(x)=2x-9,且f(0)的值为整数,当x∈(n,n+1](n∈N*)时,f(x)的值为整数的个数有且只有1个,则n=______
题型:填空题难度:一般来源:江苏一模
已知函数f(x)的导函数f′(x)=2x-9,且f(0)的值为整数,当x∈(n,n+1](n∈N*)时,f(x)的值为整数的个数有且只有1个,则n=______. |
答案
因为f′(x)=2x-9,所以可设f(x)=x2-9x+k, 由f(0)=k,k为整数,n为正整数,可得f(n+1)及f(n)均为整数. 配方可得f(x)=x2-9x+k=(x-4.5)2-4.52+k,为开口向上的二次函数,对称轴为x=4.5 当x∈(4,5]时,f(x)max-f(x)min=f(5)-f(4.5)=0.25, 又f(5)=-20+k∈Z,故只有1个整数f(5). 即当x∈(4,5]时,f(x)的值为整数的个数有且只有1个 故答案为:4 |
举一反三
已知定义在R上的函数f(x)=ax3+bx+c(a,b,c∈R),当x=-1时,f(x)取得极大值3,f(0)=1. (Ⅰ)求f(x)的解析式; (Ⅱ)已知实数t能使函数f(x)在区间(t,t+3)上既能取到极大值,又能取到极小值,记所有的实数t组成的集合为M.请判断函数g(x)=(x∈M)的零点个数. |
已知x0为函数f(x)=()x-log2x的零点,若0<x1<x0,则f(x1)的值为( ) |
已知函数f(x)=-x3+ax-4在x=处取极值. (I)求实数a的值; (II)关于x的方程f(x)=m在[-1,1]上恰有两个不同的实数根,求实数m的取值范围. |
已知函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减. (1)求a的值; (2)记g(x)=bx2-1,若方程f(x)=g(x)的解集恰有3个元素,求b的取值范围. |
若关于x的方程x|x-a|=a有三个不相同的实根,则实数a的取值范围为( )A.(0,4) | B.(-4,0) | C.(-∞,-4)∪(4,+∞) | D.(-4,0)∪(0,4) |
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