(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),函数的导数为f′(x)=2x-, ①若a≤0,f"(x)>0横成立,此时函数f(x)单调递增,无极值. ②若a>0,则由f′(x)=2x-=>0,解得x>,此时函数f(x)单调递增. 由f′(x)=<0,解得0<x<,此时函数f(x)单调递减. 所以当x=时,函数f(x)取得极小值f()=a(1-lna+ln2). 综上,若a≤0,函数f(x)无极值. 若a>0,函数f(x)取得极小值f()=a(1-lna+ln2). (2)若函数f(x)在(1,2)上是增函数,则f′(x)=≥0恒成立, 即a≤2x2在(1,2)上恒成立,所以a≤2. 又g′(x)=1-,要使g(x)在(0,1)上为减函数, 则g′(x)=1-≤0在(0,1)上恒成立, 即a≥2在(0,1)上恒成立,所以a≥2. 综上a=2. (3)由f(x)=g(x)+2得f(x)-g(x)-2=0,设h(x)=f(x)-g(x)-2=x2-2lnx-x+2-2, 则h′(x)=2x--1+,由h′(x)=2x--1+>0且x>0,得(-1)(2x+2x++2)>0, 解得x>1,此时函数h(x)单调递增. 由h"(x)<0,解的0<x<1.此时函数h(x)单调递减. 所以函数h(x)在x=1处取得极小值同时也是最小值h(0)=0, 当x>0时,且x≠1时,h(x)>0,所以h(x)=0在(0,+∞)上只有一个解,即当x>0时,方程f(x)=g(x)+2有唯-解. |