已知偶函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R），（1）求k的值；（2）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

题型：解答题难度：一般来源：湖南省月考题

已知偶函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R），
（1）求k的值；
（2）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

答案

解：（1）由f（x）=f（﹣x）得到：f（﹣1）=f（1）
∴log₄（4^﹣1+1）﹣k=log₄（4+1）+k
∴
（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点即方程有且只有一个实根
化简得：方程有且只有一个实根
令t=2^x＞0，则方程有且只有一个正根
①，不合题意；
②或﹣3若，不合题意；若
③若一个正根和一个负根，则，即a＞1时，满足题意．
所以实数a的取值范围为{a|a＞1或a=﹣3}