设二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[﹣2,2]上的最大值、最小值分别是M、m,集合A={x|f(x)=x}.(1)若A={1,2},且f(0)=2,求M
题型:解答题难度:一般来源:江苏同步题
设二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[﹣2,2]上的最大值、最小值分别是M、m,集合A={x|f(x)=x}. (1)若A={1,2},且f(0)=2,求M和m的值; (2)若A={1},且a≥1,记g(a)=M+m,求g(a)的最小值. |
答案
解:(1)由f(0)=2可知c=2, 又A={1,2}, 故1,2是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的两实根. ∴, 解得a=1,b=﹣2 ∴f(x)=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1, 因为x∈[﹣2,2],根据函数图象可知, 当x=1时,f(x)min=f(1)=1,即m=1; 当x=﹣2时,f(x)max=f(﹣2)=10,即M=10. (2)由题意知,方程ax2+(b﹣1)x+c=0有两相等实根x1=x2=1, 根据韦达定理得到: ,即, ∴f(x)=ax2+bx+c=ax2+(1﹣2a)x+a,x∈[﹣2,2] 其对称轴方程为x==1﹣ 又a≥1,故1﹣ ∴M=f(﹣2)=9a﹣2m=则 g(a)=M+m=9a﹣﹣1 又g(a)在区间[1,+∞)上为单调递增的, ∴当a=1时,g(a)min=
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举一反三
设定义域为(0,+∞)的单调函数f(x),若对任意的x∈(0,+∞),都有,则方程f(x)=2x解的个数是 |
[ ] |
A.3 B.2 C.1 D.0 |
已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
x | 1 | 2 | 3 | f (x) | 6.1 | 2.9 | -3.5 | 已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3﹣x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为 | [ ] | A.6 B.7 C.8 D.9 | 若函数f(x)=|x2﹣4x|﹣a的零点个数为3,则a=( ). | 函数 的图象与函数y=2sinπx(﹣2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( ). |
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