已知定义在区间上的函数y=f（x）图象关于直线对称，当时，f（x）=﹣sinx．（1）作出y=f（x）的图象；（2）求y=f（x）的解析式；（3）若关于x的方程

题型：解答题难度：一般来源：广东省月考题

已知定义在区间上的函数y=f（x）图象关于直线对称，当时，f（x）=﹣sinx．
（1）作出y=f（x）的图象；
（2）求y=f（x）的解析式；
（3）若关于x的方程有解，将方程所有的解的和记为M，结合（1）中函数图象，求M的值．

答案

解：（1）y=f（x）的图象如图所示．

（2）任取x∈[﹣π，]，则﹣x∈[，]，
由于函数f（x）图象关于直线对称，则．
又当时，f（x）=﹣sinx，则=﹣sin（﹣x）=﹣cosx，
．
（3）因为﹣∈（﹣1，﹣），f（x）=﹣ 有4个根满足 x₁＜x₂＜＜x₃＜x₄，
由对称性得，x₁+x₂=0，x₃+x₄=π，则M=x₁+x₂ +x₃+x₄=π．