设f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)f(1)>0,求证:(Ⅰ)方程f(x)=0有实根;(Ⅱ)-2<<-1;(Ⅲ)设x1,x2是方程f(x
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设f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)f(1)>0,求证:(Ⅰ)方程f(x)=0有实根;(Ⅱ)-2<<-1;(Ⅲ)设x1,x2是方程f(x
题型:解答题
难度:困难
来源:浙江省高考真题
设f(x)=3ax
2
+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)f(1)>0,求证:
(Ⅰ)方程f(x)=0有实根;
(Ⅱ)-2<
<-1;
(Ⅲ)设x
1
,x
2
是方程f(x)=0的两个实根,则
≤|x
1
-x
2
|<
。
答案
证明:(Ⅰ)若a=0,则b=-c,
f(0)f(1)=c(3a+2b+c)=-c
2
≤0,
与已知矛盾,所以a≠0,
方程3ax
2
+2bx+c=0的判别式△=4(b
2
-3ac),
由条件a+b+c=0,消去b,
得△=4(a
2
+c
2
-ac)
,
故方程f(x)=0有实根;
(Ⅱ)由f(0)f(1)>0,得
,
由条件a+b+c=0,消去c,得
,
因为
,
所以
,
故
。
(Ⅲ)由条件,知
,
所以(x
1
-x
2
)
2
=(x
1
-x
2
)
2
-4x
1
x
2
,
因为
,
所以
,
故
。
举一反三
已知f(x)=|x
2
-1|+x
2
+kx,
(Ⅰ)若k=2,求方程f(x)=0的解;
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=0在(0,2)上有两个解x
1
,x
2
,求k的取值范围,并证明
<4。
题型:解答题
难度:困难
|
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函数f(x)=ln(x+1)-
的零点所在的大致区间是
[ ]
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,e)
D.(3,4)
题型:单选题
难度:一般
|
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方程2
-x
+x
2
=3的实数解的个数为( )。
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x
2
+2x+a,f(bx)=9x
2
-6x+2,其中x∈R,a,b为常数,则方程f(ax+b)=0的解集为( )。
题型:填空题
难度:一般
|
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若函数f(x)=a
x
-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是( )。
题型:填空题
难度:一般
|
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