已知f（x）=|x2-1|+x2+kx， （Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解； （Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值

题型：解答题难度：困难来源：浙江省高考真题

已知f（x）=|x²-1|+x²+kx，
（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x₁，x₂，求k的取值范围，并证明＜4。

答案

解：（Ⅰ）当k=2时，，
分两种情况讨论：
①当1时，即x≥1或x≤-1时，
方程化为，解得，
因为，舍去，
所以；
②当时，即-1＜x＜1，
方程化为1+2x=0，解得，
由①②得，当k=2时，方程f（x）=0的解是；
（Ⅱ）不妨设，
因为
所以f（x）在(0，1]是单调递函数，
故f（x）=0在(0，1]上至多一个解。
若，则，故不符合题意；
因此，，
，
所以k≤-1；
，
所以，
故当时，f（x）=0在（0，2）上有两个解。
因为，所以，
而方程的两根是，
因为，所以，
则，
上是减函数，
则，
因此。