已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围.
题型:解答题难度:困难来源:同步题
已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围. |
答案
解:若a=0,则函数f(x)=2x-3在区间[-1,1]上没有零点; 下面就a≠0时分三种情况讨论: (1)方程f(x)=0在区间[-1,1]上有重根,此时Δ=解得, 当时,f(x)=0的重根; 当时,f(x)=0的重根, 故当方程f(x)=0在区间[-1,1]上有重根时,; (2)f(x)在区间[-1,1]上只有一个零点且不是f(x)=0的重根, 此时有f(-1)f(1)≤0, ∵f(-1)=a-5,f(1)=a-1, ∴(a-5)(a-1)≤0,即1≤a≤5, ∵当a=5时,方程f(x)=0在区间[-1,1]上有两个相异实根, ∴当方程f(x)=0在区间[-1,1]上只有一个根且不是重根时,1≤a<5; (3)方程f(x)=0在区间[-1,1]上有两相异实根, 因为函数,其图象的对称轴方程为, a应满足: ①或②, 解不等式组①得a≥5, 解不等式组②得, 故当方程f(x)=0在区间[-1,1]上有两个相异实根时,, 注意到当1≤a<5时,f(-1)f(1)≤0, 方程f(x)=0在区间[-1,1]上有根; 当时, 由于f,且,方程f(x)=0在区间[-1,1]上有根; 当a=时,方程f(x)=0在区间[-1,1]上有根; 综上所述,函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,则a的取值范围是(-∞,)∪(1,+∞)。 |
举一反三
函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的大致区间是 |
[ ] |
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4) |
a,b,c依次表示方程2x+x=1,2x+x=2,3x+x=2的根,则a,b,c的大小顺序为 |
[ ] |
A、a<c<b B、a>b>c C、a<b<c D、b>a>c |
方程|x|=cosx在(-∞,+∞)内 |
[ ] |
A.没有根 B.有且仅有一个根 C.有且仅有两个根 D.有无穷多个根 |
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