(Ⅰ)直线y=x+2的斜率为1,函数f(x)的定义域为(0,+∞), 因为f′(x)=-+,所以,f′(1)=-+=-1,所以,a=1. 所以,f(x)=+lnx-2,f′(x)=. 由f"(x)>0解得x>2;由f"(x)<0,解得 0<x<2. 所以f(x)的单调增区间是(2,+∞),单调减区间是(0,2). (Ⅱ) f′(x)=-+=,由f"(x)>0解得 x>; 由f"(x)<0解得 0<x<. 所以,f(x)在区间(,+∞)上单调递增,在区间(0,)上单调递减. 所以,当x=时,函数f(x)取得最小值,ymin=f().因为对于∀x∈(0,+∞)都有f(x)>2(a-1)成立, 所以,f()>2(a-1)即可. 则+aln-2>2(a-1). 由aln>a解得 0<a<. 所以,a的取值范围是 (0,). (Ⅲ) 依题得 g(x)=+lnx+x-2-b,则 g′(x)=. 由g"(x)>0解得 x>1; 由g"(x)<0解得 0<x<1. 所以函数g(x)在区间(0,1)为减函数,在区间(1,+∞)为增函数. 又因为函数g(x)在区间[e-1,e]上有两个零点,所以, 解得 1<b≤+e-1. 所以,b的取值范围是(1,+e-1]. |