已知定义在的函数,对任意的、,都有,且当时,.(1)证明:当时,;(2)判断函数的单调性并加以证明;(3)如果对任意的、,恒成立,求实数的取值范围.

已知定义在的函数,对任意的、,都有,且当时,.(1)证明:当时,;(2)判断函数的单调性并加以证明;(3)如果对任意的、,恒成立,求实数的取值范围.

题型:解答题难度:简单来源:不详
已知定义在的函数,对任意的,都有,且当时,.
(1)证明:当时,
(2)判断函数的单调性并加以证明;
(3)如果对任意的恒成立,求实数的取值范围.
答案
(1)先证明,进而证明当时,
(2)严格按照单调函数的定义证明即可;
(3)
解析

试题分析:(1)证明:取,
,即,
所以当时,.
(2)上是减函数,证明如下:
,

上是减函数.
(3)
,所以实数的取值范围为.
点评:解决抽象函数问题的主要方法是“赋值法”,而且抽象函数的单调性的证明知能用定义,利
用基本不等式求最值时,要注意“一正二定三相等”三个条件缺一不可.
举一反三
已知f满足f(ab)=f(a)+ f(b),且f(2)=那么等于(   )
A.B.C.D.

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设函数的定义域为,对任意的实数都有;当时,,且.(1)判断并证明上的单调性;
(2)若数列满足:,且,证明:对任意的
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已知函数是以为周期的偶函数,当时,.若关于的方程)在区间内有四个不同的实根,则的取值范围是
A.B.C.D.

题型:单选题难度:简单| 查看答案
(本小题满分12分)已知函数
(1)若时,在其定义域内单调递增,求的取值范围;
(2)设函数的图象与函数的图象交于两点,过线段的中点轴的垂线分别交于点,问是否存在点,使处的切线与处的切线平行?若存在,求的横坐标,若不存在,请说明理由。
题型:解答题难度:简单| 查看答案
(Ⅰ)设是定义在实数集R上的函数,满足,且对任意实数a,b有
(Ⅱ)设函数满足
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