设函数的定义域为，对任意的实数都有；当时，，且.（1）判断并证明在上的单调性；（2）若数列满足：，且，证明：对任意的，

题型：解答题难度：简单来源：不详

设函数的定义域为，对任意的实数都有；当时，，且.（1）判断并证明在上的单调性；
（2）若数列满足：，且，证明：对任意的，

答案

（1）单调递增（2），再利用.

解析

试题分析：（1）在上单调递增，证明如下： 设任意，且，∵，∴，∴
即，∴在上单调递增.  
（2）在中，令，得.令，
得，∴.令，得，即

下面用数学归纳法证明：   
①当时，，不等式成立；
②假设当时，不等式成立，即，则∵在上单调递增，
∴，∴，即当时不等式也成立.
综上①②，由数学归纳法原理可知对任意的，
点评：本题考查函数的单调性，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．