已知,如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(﹣2,0),点B坐标为(0,2 ),点E为线段AB上的动点(点E不与点A,B重合),以E为顶点作∠OET=45°,射
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已知,如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(﹣2,0),点B坐标为(0,2 ),点E为线段AB上的动点(点E不与点A,B重合),以E为顶点作∠OET=45°,射
题型:辽宁省中考真题
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已知,如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(﹣2,0),点B坐标为(0,2 ),点E为线段AB上的动点(点E不与点A,B重合),以E为顶点作∠OET=45°,射线ET交线段OB于点F,C为y轴正半轴上一点,且OC=AB,抛物线y=﹣
x
2
+mx+n的图象经过A,C两点.
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)求证:∠BEF=∠AOE;
(3)当△E
OF为等腰三角形时,求此时点E的坐标;
(4)在(3)的条件下,当直线EF交x轴于点D,P为(1)中抛物线上一动点,直线PE交x轴于点G,在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P,使得△EPF的面积是△EDG面积的(2
+1)倍.若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
解:(1)如答图①,
∵A (﹣2,0),B (0,2),
∴OA=OB=2,
∴AB
2
=OA
2
+OB
2
=2
2
+2
2
=8,
∴AB=2
,
∵OC=AB,
∴OC=2
,
即C(0,2
),
又∵抛物线y=﹣
x
2
+mx+n的图象经过A、C两点,
则可得:
,
解得:m=﹣
,n=2
,
∴抛
物线的表达式为y=﹣
x
2
﹣
x+2
;
(2)∵OA=OB,∠AOB=90°,
∴∠BAO=∠ABO=45°,
又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE,
∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF,
∴∠BEF=∠AOE;
(3)当△EOF为等腰三角形时,分三种情况讨论:
①当OE=OF时,∠OFE=∠OEF=45°,
在△EOF中,∠EOF=180°﹣∠OEF﹣∠OFE
=180°﹣45°﹣45°
=90°,
又∵∠AOB=90°,
则此时点E与点A重合,不符合题意,此种情况不成立;②如答图②,当FE=FO时,∠EOF=∠OEF=4
5°,
在△EOF中,∠EFO=180°﹣∠OEF﹣∠EOF
=180°﹣45°﹣45°
=90°,
∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°,
∴EF∥AO,
∴ ∠BEF=∠BAO=45°,
又∵ 由(2)可知,∠ABO=45°,
∴∠BEF=∠ABO,
∴BF=EF,
∴EF=BF=OF=
OB=
×2=1,
∴E(﹣1,1);
③如答图③,当EO=EF时,过点E作EH⊥y轴于点H,
在△AOE和△BEF中,
∠EAO=∠FBE,EO=EF,∠AOE=∠BEF,
∴△AOE≌△BEF,
∴BE=AO=2,
∵EH⊥OB,
∴∠EHB=90°,
∴∠AOB=∠EHB,
∴EH∥AO,
∴∠BEH=∠BAO=45°.
在Rt△BEH中,
∵∠BEH=∠ABO=45°,
∴EH=BH=BEcos45°=2×
=
,
∴OH=OB﹣BH=2﹣2
,
∴ E(﹣
,2﹣
).
综上所述,当△EOF为等腰三角形时,所求E点坐标为
E(﹣1,1)或E(﹣
,2﹣2
);
(4)P(0,2
)或P(﹣1,2
).
答图①
答图②
答图③
举一反三
已知抛物线y=ax
2
+2x+c的图象与x轴交于点A(3,0)和点C,与y轴交于点B(0,3).(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点D,使得点D到点B、C的距离之和最小,并求出点D的坐标;
(3)在第一象限的抛物线上,是否存在一点P,使得△ABP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:广西自治区中考真题
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如图1,在直角坐标系中,已知△AOC的两个顶点坐标分别为A(2,0),C(0,2).(1)请你以AC的中点为对称中心,画出△AOC的中心对称图形△ABC,此图与原图组成的四边形OABC的形状是
_________
,请说明理由;
(2)如图2,已知D(
,0),过A,C,D的抛物线与(1)所得的四边形OABC的边BC交于点E,求抛物线的解析式及点E的坐标;
(3)在问题(2)的图形中,一动点P由抛物线上的点A开始,沿四边形OABC的边从A﹣B﹣C向终点C运动,连接OP交AC于N,若P运动所经过的路程为x,试问:当x为何值时,△AON为等腰三角形(只写出判断的条件与对应的结果)?
题型:新疆自治区中考真题
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如图,已知点
点C在y轴的正半轴上,且
抛物线
经过
三点,其顶点为
.
求抛物线
的解析式;
(1)求抛物线的解析式
(2)试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关
系,并加以证明;
(3)在抛物线上是否存在点N,使得
?如果存在,那么这样的点有几个?如果不存在,请说明理由。
题型:四川省中考真题
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许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料,节约用气是我们日常生活中非常现实的问题.某款燃气灶旋钮位置从0度到90度(如图),燃气关闭时,燃气灶旋钮的位置为0度,旋钮角度越大,燃气流量越大,燃气开到最大时,旋钮角度为90度.为测试燃气灶旋钮在不同位置上的燃气用量,在相同条件下,选择在燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水(当旋钮角度太小时,其火力不能够将水烧开,故选择旋钮角度x度的范围是18 ≤x ≤90),记录相关数据得到下表:
(1)请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律?说明确定是这种函数而不是其它函数的理由,并求出它的解析式;
(2)当旋钮角度为多少时,烧开一壶水所用燃气量最少?最少是多少?
(3)某家庭使用此款燃气灶,以前习惯把燃气开到最大,现采用最节省燃气的旋钮角度,每月平均能节
约燃气10立方米,求该家庭以前每月的平均燃气用量.
题型:山东省中考真题
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如图,抛物线y=
x
2
+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OC=3.
(1).求抛物线的解析式.
(2)
若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在
抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
注:二次函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-
题型:黑龙江省中考真题
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