已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A(3,0)和点C,与y轴交于点B(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上找一点D,使得点D
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已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A(3,0)和点C,与y轴交于点B(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上找一点D,使得点D
题型:广西自治区中考真题
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来源:
已知抛物线y=ax
2
+2x+c的图象与x轴交于点A(3,0)和点C,与y轴交于点B(0,3).(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点D,使得点D到点B、C的距离之和最小,并求出点D的坐标;
(3)在第一象限的抛物线上,是否存在一点P,使得△ABP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
解:(1)∵抛物线y=ax
2
+2x+c的图象经过点A(3,0)和点B(0,3),
∴
,解得a=-1,c=3,
∴抛物线的解析式为:y=-x
2
+2x+3.
(2)对称轴为x=
=1, 令y=-x
2
+2x+3=0,解得x
1
=3,x
2
=-1,
∴C(-1,0).
如图1所示,连接AB,与对称轴x=1的交点即为所求之D点,由于A、C两点关于对称轴对称,则此时DB+DC=DB+DA=AB最小.
设直线AB的解析式为y=kx+b,由A(3,0)、B(0,3)
可得:
,解得k=-1,b=3,
∴直线AB解析式为y=-x+3. 当x=1时,y=2,
∴D点坐标为(1,2).
(3)结论:存在.
如图2所示,设P(x,y)是第一象限的抛物线上一点, 过点P作PN⊥x轴于点N,
则ON=x,PN=y,AN=OA-ON=3-x.
S
△ABP
=S
梯形PNOB
+S
△PNA
-S
△AOB
=
(OB+PN)ON+
PN×AN-
OA×OB
=
(3+y)x+
y(3-x)-
×3×3
=
(x+y)-
,
∵P(x,y)在抛物线上,
∴y=-x
2
+2x+3,
代入上式得: S
△ABP
=
(x+y)-
=-
(x
2
-3x)=-
(x-
)
2
+
,
∴当x=
时,S
△ABP
取得最大值.
当x=
时,y=-x
2
+2x+3=
,
∴P(
,
).
所以,在第一象限的抛物线上,存在一点P,使得△ABP的面积最大;
P点的坐标为(
,
).
举一反三
如图1,在直角坐标系中,已知△AOC的两个顶点坐标分别为A(2,0),C(0,2).(1)请你以AC的中点为对称中心,画出△AOC的中心对称图形△ABC,此图与原图组成的四边形OABC的形状是
_________
,请说明理由;
(2)如图2,已知D(
,0),过A,C,D的抛物线与(1)所得的四边形OABC的边BC交于点E,求抛物线的解析式及点E的坐标;
(3)在问题(2)的图形中,一动点P由抛物线上的点A开始,沿四边形OABC的边从A﹣B﹣C向终点C运动,连接OP交AC于N,若P运动所经过的路程为x,试问:当x为何值时,△AON为等腰三角形(只写出判断的条件与对应的结果)?
题型:新疆自治区中考真题
难度:
|
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如图,已知点
点C在y轴的正半轴上,且
抛物线
经过
三点,其顶点为
.
求抛物线
的解析式;
(1)求抛物线的解析式
(2)试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关
系,并加以证明;
(3)在抛物线上是否存在点N,使得
?如果存在,那么这样的点有几个?如果不存在,请说明理由。
题型:四川省中考真题
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许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料,节约用气是我们日常生活中非常现实的问题.某款燃气灶旋钮位置从0度到90度(如图),燃气关闭时,燃气灶旋钮的位置为0度,旋钮角度越大,燃气流量越大,燃气开到最大时,旋钮角度为90度.为测试燃气灶旋钮在不同位置上的燃气用量,在相同条件下,选择在燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水(当旋钮角度太小时,其火力不能够将水烧开,故选择旋钮角度x度的范围是18 ≤x ≤90),记录相关数据得到下表:
(1)请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律?说明确定是这种函数而不是其它函数的理由,并求出它的解析式;
(2)当旋钮角度为多少时,烧开一壶水所用燃气量最少?最少是多少?
(3)某家庭使用此款燃气灶,以前习惯把燃气开到最大,现采用最节省燃气的旋钮角度,每月平均能节
约燃气10立方米,求该家庭以前每月的平均燃气用量.
题型:山东省中考真题
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如图,抛物线y=
x
2
+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OC=3.
(1).求抛物线的解析式.
(2)
若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在
抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
注:二次函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-
题型:黑龙江省中考真题
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如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A(﹣2 ,0)、B(2 ,0)、C(0 ,﹣1)三点,过坐标原点O的直线y=kx与抛物线
交于M、N两点.分别过点C,D(0,﹣2)作平行于x轴的直线
l
1
、
l
2
.
(1)求抛物线对应二次函数的解析式;
(2)求证以ON为直径的圆与直线
l
1
相切;
(3)求线段MN的长(用k表示),并证明M、N两点到直线
l
2
的距离之和等于线段MN的长.
题型:山东省中考真题
难度:
|
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