试题分析:(Ⅰ) ,依题意,得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819193143-95837.png) ,即 , . 2分 ∵ , ∴ . 3分 (Ⅱ)令 ,得 . 4分 当 时, ; 当 时, ; 当 时, . 又 , , , . 因此,当 时, . 7分 要使得不等式 对于 恒成立,则 . 所以,存在最小的正整数 ,使得不等式 对于
恒成立. 9分 (Ⅲ)方法一:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819193144-67728.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819193144-54808.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819193144-85105.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819193144-17189.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819193144-41934.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819193144-65297.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819193144-18182.png) . 11分 又∵ ,∴ , . ∴ ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819193144-84245.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819193145-63232.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819193145-33805.png) . 13分 综上可得, ( , ). 14分 方法二:由(Ⅱ)知,函数 在 [-1, ]上是增函数;在[ , ]上是减函数;在[ ,1]上是增函数. 又 , , , . 所以,当x∈[-1,1]时, ,即 . ∵ , ∈[-1,1],∴ , . ∴ . 11分 又∵ ,∴ ,且函数 在 上是增函数. ∴ . 13分 综上可得, ( , ). 14分 点评:难题,本题综合性较强,对复杂式子的变形能力要求较高。不等式的证明中,灵活运用不等式的性质是一个关键点。 |