解:(Ⅰ)由于 , ,则 ; 又 , ,则 ; 所以 . …………………………………………6分 (Ⅱ)当n=1,2时,有nn+1<(n+1)n.………………………………………8分 当n≥3时,有nn+!>(n+1)n. 证明如下: 令 , . 又 . ∴an+1>an即数列{an}是一个单调递增数列. 则an>an-1>…>a3>1 ∴ 即nn+1>(n+1)n. ……………………………………16分 另证:构造函数f(x)= (x≥3),f (x)= = , ∴f(x)= 在[3,+∞ 为递减函数,则f(n)>f(n+1), 即 , ,∴ , 即nn+1>(n+1 )n(n≥3时结论成立). |