为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量
题型：解答题难度：一般来源：不详
为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值0≤x≤30（单位：万元，0≤x≤30）的平方成正比，已知商品单价降低2万元时，一星期多卖出24件．
（1）将一个星期的商品销售利润表示成f（x）的函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ |
答案
（1）设商品降价x万元，则多卖的商品数为kx2，
若记商品在一个星期的获利为f（x），
则依题意，有f（x）=（30-x-9）（432+kx2）=（21-x）（432+kx2），
又，由已知条件：24=k•22，得 k=6，
所以，f（x）=-6x3+126x2-432x+9072，x∈[0，30]．
（2）根据（1），得 f"（x）=-18x2+252x-432=-18（x-2）（x-12）
作出以下表格：
| x | [0，2） | 2 | （2，12） | 12 | （12，30] | | f"（x） | - | 0 | + | 0 | - | | f（x） | ↘ | 极小 | ↗ | 极大 | ↘ |
举一反三
广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为X万美元，可获得的加工费近似地为ln（2x+1）万美元，受美联储货币政策的影响，美元€值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元赔值而损失mx万美元，其中m为该时段美元的贬值指数是m∈（0，1），从而实际所得的加工费为f（x）=ln（2x+1）-mx（万美元）．
（1）若某时期美元贬值指数m=，为确保企业实际所得加工费随X的增加而增加，该企业加工产品订单的金额X应在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为X万美元时共需要的生产成本为x万美元，己知该企业加工生产能力为x∈[10，20]（其中X为产品订单的金额），试问美元的贬值指数m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损． | 已知f(x)=，x∈（0，1）；
（1）试判断并证明f（x）的单调性；
（2）当λ取何值时，方程f（x）+f（-x）=λ有实数解？ | 已知函数f(x)=在（0，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）| A．（-∞，0） | B．（0，+∞） | C．（1，+∞） | D．（-∞，1） |
| 有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段．为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距d（m）正比于车速v（km/h）的平方与车身长l（m）的积，且车距不得小于一个车身长l（假设所有车身长均为l）．而当车速为60（km/h）时，车距为1.44个车身长．
（1）求通过隧道的最低车速；
（2）在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q最多？ | 已知y=f（x）是二次函数，且f（0）=8及f（x+1）-f（x）=-2x+1
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数y=log3f（x）的单调递减区间及值域． |
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