广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为X万美元，可获得的加工费近

题型：解答题难度：一般来源：吉安二模

广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为X万美元，可获得的加工费近似地为

1

2

ln（2x+1）万美元，受美联储货币政策的影响，美元€值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元赔值而损失mx万美元，其中m为该时段美元的贬值指数是m∈（0，1），从而实际所得的加工费为f（x）=

1

2

ln（2x+1）-mx（万美元）．
（1）若某时期美元贬值指数m=

1

200

，为确保企业实际所得加工费随X的增加而增加，该企业加工产品订单的金额X应在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为X万美元时共需要的生产成本为

1

20

x万美元，己知该企业加工生产能力为x∈[10，20]（其中X为产品订单的金额），试问美元的贬值指数m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．

答案

（1）由已知m=

1

200

，f（x）=

1

2

ln（2x+1）-

x

200

，（其中x＞0）；
∴f^′（x）=

1

2x+1

-

1

200

=

199-2x

200(2x+1)

；
由f^′（x）＞0，即199-2x＞0，解得0＜x＜99.5；
即加工产品订单金额x∈（0，99.5）（单位：万美元）时，该企业的加工费随x的增加不断增长．
（2）依题意，企业加工生产不出现亏损，则
当x∈[10，20]时，都有

1

2

ln（2x+1）-mx≥

1

20

x，即

1

20

+m≤

ln(2x+1)

2x

，
令g（x）=

ln(2x+1)

2x

，x∈[10，20]，则
g^′（x）=

2 2x+1 •x-ln(2x+1)

2x2

=

2x-(2x+1)ln(2x+1)

2x2(2x+1)

；
令h（x）=2x-（2x+1）ln（2x+1），则
h^′（x）=2-[2ln（2x+1）+（2x+1）

2

2x+1

]=-2ln（2x+1）＜0，
可知h（x）在[10，20]上单调递减，从而h（20）≤h（x）≤h（10）；
又h（10）=20-21ln21＜21（1-ln21）＜0，
即x∈[10，20]时，知g（x）在[10，20]上单调递减，
因此，g_min（x）=

ln41

40

，即m≤

ln41

40

-

1

20

；
故当美元的贬值指数m∈(0，

ln41-2

40

]时，该企业加工生产不会亏损．