某化工企业生产某种化工原料，在生产过程中对周边环境将造成一定程度的污染，过去没有采取任何治理污染的措施，依据生产和营销的统计数据发现，该企业每季度的最大生产能力

题型：解答题难度：一般来源：不详

某化工企业生产某种化工原料，在生产过程中对周边环境将造成一定程度的污染，过去没有采取任何治理污染的措施，依据生产和营销的统计数据发现，该企业每季度的最大生产能力为2万吨，且每生产x万吨化工原料，获得的纯利润y（百万元）近似地满足：y=（x+1）ln（x+1）．自2007年3月人民代表大会召开后，该企业认识到保护环境的重要性，决定投入资金进行的污染治理，计划用于治理污染的资金总费用为y₁=2px（百万元）（其中x为该工厂的生产量，p为环保指标参数，p∈（0，1]．
（I）试写出该企业进行污染治理后的利润函数f（x）；
（II）试问p控制在什么范围内，该企业开始进行污染治理的第一个季度，在最大生产能力的范围内始终不会出现亏损？

答案

（I）由题意，该企业进行污染治理后的利润函数为f（x）=y-y₁=（x+1）ln（x+1）-2px．（x＞0）．…（3分）
（II）f′（x）=ln（x+1）+1-2p．
令f′（x）=0，得x=e^2p-1-1．…（4分）
①当0＜2p≤1，即0＜p≤

1

2

时，对x∈(0，2]，f′(x)＞0．
所以f（x）在[0，2]上为增函数，且f（x）≥f（0）=0．
即当0＜p≤

1

2

时，对所有x∈（0，2]，都有（x+1）ln（x+1）≥2px．…（8分）
②当2p＞1，即

1

2

＜p＜1时，e^2p-1-1＞0．
则当x∈（0，e^2p-1-1）⊊（0，2]时，f′（x）＜0．…（11分）
所以f（x）在（0，e^2p-1）上为减函数，且f（x）＜f（0）=0
则（x+1）ln（x+1）＜2px．…（13分）
综合可知，当0＜p≤

1

2

时，生产的第一季度始终不会出现亏损现象．…（14分）