某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x=3-km+1（k为常数），如果不搞促销

题型：解答题难度：一般来源：不详

某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x=3-

k

m+1

（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）将2010年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

答案

（1）由题意可知当m=0时，x=1（万件），
∴1=3-k⇒k=2．（2分）
∴x=3-

2

m+1

．
每件产品的销售价格为1.5×

8+16x

x

（元），（4分）
∴2010年的利润y=x•(1.5×

8+16x

x

)-（8+16x+m）（6分）
=4+8x-m=4+8(3-

2

m+1

)-m
=-[

16

m+1

+(m+1)]+29（m≥0）．（8分）
（2）∵m≥0时，

16

m+1

+（m+1）≥2

16

=8，（12分）
∴y≤-8+29=21，当且仅当

16

m+1

=m+1⇒m=3（万元）时，
y_max=21（万元）．（15分）
所以当该厂家2010年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．（15分）