已知函数f(x)=12x-1+12．（1）求f（x）的定义域；   （2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

1

2x-1

+

1

2

．
（1）求f（x）的定义域；   
（2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明．

答案

（1）令分母2^x-1≠0解得x≠0，故定义域为{x|x≠0}
函数的解析式可以变为 f(x)=1+

2

2x-1

，
由于2^x-1＞-1，故

1

2x-1

＜-1或

1

2x-1

＞0
故

2

2x-1

＞0或

2

2x-1

＜-2，
∴f(x)=

2x+1

2x-1

的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）
（2）f（x）在（0，+∞）是一个减函数，证明如下：
由于 f(x)=

1

2x-1

+

1

2

，在（0，+∞）上，2^x-1递增且函数值大于0，

1

2x-1

在（0，+∞）上是减函数，
故 f(x)=

1

2x-1

+

1

2

在（0，+∞）上是减函数．