已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b2x+1+a是奇函数.(1)求f(x);(2)是否存在最大的常数k,对于任意x实数都有f(x)>k,求出k;若不存在,说
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已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b2x+1+a是奇函数.(1)求f(x);(2)是否存在最大的常数k,对于任意x实数都有f(x)>k,求出k;若不存在,说
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知定义域为R的函数f(x)=
-
2
x
+b
2
x+1
+a
是奇函数.
(1)求f(x);
(2)是否存在最大的常数k,对于任意x实数都有f(x)>k,求出k;若不存在,说明理由.
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t
2
-2t)+f(2t
2
-k)<0恒成立,求k的取值范围.
答案
解 (1)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,即
-1+b
2+a
=0
,解得b=1
从而有
f(x)=
-
2
x
+1
2
x+1
+a
又由f(1)=-f(-1)知
-2+1
4+a
=
-
1
2
+1
1+a
,解得a=2…..(4分)
(2)由(1)知
f(x)=
-
2
x
+1
2
x+1
+2
=
-
1
2
+
1
2
x
+1
由上式易知f(x)在R上为减函数,
f(x)>-
1
2
,所以k=-
1
2
.….(8分)
(3)解法一:由(1)知
f(x)=
-
2
x
+1
2
x+1
+2
=
-
1
2
+
1
2
x
+1
由上式易知f(x)在R上为减函数,
又因f(x)是奇函数,从而不等式
f(t
2
-2t)+f(2t
2
-k)<0等价于f(t
2
-2t)<-f(2t
2
-k)=f(-2t
2
+k)
因f(x)是R上的减函数,由上式推得t
2
-2t>-2t
2
+k
即对一切t∈R有3t
2
-2t-k>0
从而△=4+12k<0,解得
k<-
1
3
….(13分)
举一反三
已知函数f(x)=x
a
,g(x)=a
x
,h(x)=log
a
x(其中a>0,a≠1)在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象,其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=4+a
x-1
(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,则P点的坐标是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
在同一坐标系中,函数y=2
x
与y=
(
1
2
)
x
的图象之间的关系是( )
A.关于y轴对称
B.关于x轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y=x对称
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知a>0,且a≠1,则函数y=a
-x
与y=loga
x
的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
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在同一坐标系下,函数y=a
x
,y=b
x
,y=c
x
,y=d
x
的图象如图,则a、b、c、d、1之间从小到大的顺序是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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