已知函数f(x)=ax-a-x(a＞0且a≠1)，(1)判断函数y=f(x)的单调性；(2)若f(1)=，且g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在[1，+∞

题型：解答题难度：一般来源：重庆市模拟题

已知函数f(x)=a^x-a^-x(a＞0且a≠1)，
(1)判断函数y=f(x)的单调性；
(2)若f(1)=，且g(x)=a^2x+a^-2x-2mf(x)在[1，+∞)上的最小值为-2，求实数m的值。

答案

解：(1)当a＞1时，y=a^x在R上单调递增，y=a^-x=在R上单调递减，
所以，原函数在R上单调递增；
同理，当0＜a＜1时，原函数在R上单调递减；
(2)，
∴，即2a²-3a-2=0，∴a=2或(舍去)，
∴，
令，
∵x≥1，∴，
∴g(t)=t²-2mt+2=(t-m)²+2-m²，
当时，g(t)_min=g(m)=2-m²=-2，
∴m=2或m=-2(舍去)；
当时，，
∴(舍去)；
综上可知m=2。