已知函数f（x）=2x，（1）求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值；（2）若存在x∈（-∞，0），使f（2x）-af（x）＞1成立，

题型：解答题难度：困难来源：江苏期中题

已知函数f（x）=2^x，
（1）求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值；
（2）若存在x∈（-∞，0），使f（2x）-af（x）＞1成立，求a的取值范围；
（3）若当x∈[0，3]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）²]恒成立，求a的取值范围。

答案

解：（1），
令
因
故

当时，
当时，令
若，时，取得最大值，
若，时取得最大值，
若，时取得最大值，
综上，；
（2）令则存在使得
即存在使得
所以
a的取值范围是；
（3）因是单调增函数，故由得
问题转化为对恒成立
即
令
若，必需且只需，此时得；
若，必需且只需，此时得；
若，必需且只需，此时无解
综上得a的取值范围是。