已知,,其中是自然常数）.（Ⅰ）求的单调性和极小值；（Ⅱ）求证：在上单调递增；（Ⅲ）求证：.

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知,,其中是自然常数）.
（Ⅰ）求的单调性和极小值；
（Ⅱ）求证：在上单调递增；
（Ⅲ）求证：.

答案

（Ⅰ）当时，，此时单调递减当时，，此时单调递增 ∴的极小值为 
（Ⅱ）当时，，在上单调递增  
（Ⅲ）略

解析

（1）对函数求导，注意定义域，利用导数与函数单调性的关系可求出的单调性和极小值；（2）函数在上单调递增；只需证在上大于等于0恒成立；（3）由（1）和（2）可得函数，，因为，所以