求函数f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x)的值域.

题型：解答题难度：简单来源：不详

求函数f(x)=log₂+log₂(x-1)+log₂(p-x)的值域.

答案

f(x)的定义域为∴∴∵函数定义域不能是空集，∴p＞1，定义域为(1，p).
而x∈(1，p)时，f(x)=log₂(x+1)(p-x)=log₂［-x²+(p-1)x+p］
=log₂［-(x-)²+()²］.
(1)当0＜≤1，即1＜p≤3时，0＜(x+1)(p-x)＜2(p-1).
∴f(x)的值域为(-∞，log₂2(p-1)).
(2)当1＜＜p，即p＞3时，0＜(x+1)(p-x)≤()².
∴函数f(x)的值域为(-∞，2log₂(p+1)-2］.

解析

求函数值域，必须先求定义域，求对数函数的定义域转化为解不等式组.