使函数f(x)=log2(x+1x)，x∈M的值域为[1，2]，则区间M可以是______．

题型：填空题难度：一般来源：不详

使函数f(x)=log2(x+

1

x

)，x∈M的值域为[1，2]，则区间M可以是______．

答案

令x+

1

x

＞0解得，x＞0，故函数的定义域是（0，+∞），
设t=x+

1

x

，由于x＞0，故t≥2，
∵t在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数；且函数y=log₂^x在定义域上是增函数，
∴f(x)=log2(x+

1

x

)在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数，
∵f(x)=log2(x+

1

x

)，x∈M的值域为[1，2]，∴当x+

1

x

=2时，函数值为1；当x+

1

x

=4时函数值为2，
解得：x=1；x=2±

3

，
根据函数的单调性知，区间M可以是[1，2+

3

]或[2-

3

，1]，
故答案为：[1，2+

3

]．