函数y=lg(3-4x+x2)的定义域为M,函数f(x)=4x-2x+1(x∈M).(1)求M;(2)求函数f(x)的值域;(3)当x∈M时,若关于x的方程4x
题型:解答题难度:一般来源:不详
函数y=lg(3-4x+x2)的定义域为M,函数f(x)=4x-2x+1(x∈M). (1)求M; (2)求函数f(x)的值域; (3)当x∈M时,若关于x的方程4x-2x+1=b(b∈R)有实数根,求b的取值范围,并讨论实数根的个数. |
答案
(1)x2-4x+3>0,(x-1)(x-3)>0,x<1或x>3, ∴M={x|x<1或x>3}(2分)
(2)设t=2x,∵x<1或x>3, ∴t∈(0,2)∪(8,+∞)(3分) f(x)=g(t)=t2-2t=(t-1)2-1,(4分) 当t∈(0,1)时g(t)递减,当t∈(1,2)时g(t)递增,g(1)=-1,g(0)=g(2)=0, 所以t∈(0,2)时,g(t)∈[-1,0)(6分) 当t∈(8,+∞)时g(t)递增,g(8)=48,所以g(t)∈(48,+∞)(7分) 故f(x)的值域为[-1,0)∪(48,+∞)(8分)
(3)b=4x-2x+1,即b=f(x),方程有实根 ∴函数y1=b与函数y2=f(x)(x∈M)的图象有交点.(10分) 由(2)知f(x)∈[-1,0)∪(48,+∞), 所以当b∈[-1,0)∪(48,+∞)时,方程有实数根.(12分) 下面讨论实根个数: ①当b=-1或当b∈(48,+∞)时,方程只有一个实数根(13分) ②当b∈(-1,0)时,方程有两个不相等的实数根(14分) ③当b∈(-∞,-1)∪[0,48]时,方程没有实数根(15分) |
举一反三
如果x>1,a=log0.5x,那么( )A.a2>2a>a | B.2a>a>a2 | C.a2>a>2a | D.a>2a>a2 |
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某种动物的繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,到第七年它们发展到______只. |
下列函数表示式中,是对数函数的有( ) ①y=logax(a∈R); ②y=log8x; ③y=lnx; ④y=logx(x+2); ⑤y=2log4x. |
已知函数f(x)= 的定义域为M,g(x)=ln(1+x)的定义域为N,则M∩N=______. |
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