已知函数f(x)=log2(1-x)-log2(1+x)，（1）求函数f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性；（3）方程f(x)=x+1是否有根？如果有根

题型：解答题难度：一般来源：0116 期中题

已知函数f(x)=log₂(1-x)-log₂(1+x)，
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）判断f(x)的奇偶性；
（3）方程f(x)=x+1是否有根？如果有根x₀，请求出一个长度为的区间(a，b)，使x₀∈(a，b)；如果没有，请说明理由？（注：区间(a，b)的长度=b-a）

答案

解：（1）要使函数有意义，则，
∴-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1）。
（2）∵，
∴f（x）为奇函数。
（3）由题意知方程f（x）=x+1等价于，
可化为，
设，x∈（-1，1），
则，g（0）=2-1=1＞0，
所以，故方程在上必有根；
又因为，
所以，
故方程在上必有一根，
所以满足题意的一个区间为。