设f(x)=lg[1+2x+4xa3],其中a∈R,如果当x∈(-∞,1)时,f(x)有意义,求a的取值范围.

设f(x)=lg[1+2x+4xa3],其中a∈R,如果当x∈(-∞,1)时,f(x)有意义,求a的取值范围.

题型:解答题难度:一般来源:不详
设f(x)=lg[
1+2x+4xa
3
]
,其中a∈R,如果当x∈(-∞,1)时,f(x)有意义,求a的取值范围.
答案
当a=0时,真数
1+2x
3
恒大于0,成立;
当a≠0时,
x<1,0<2x≤21=2
设b=2x
则4x=b2,0<b≤2,
1+2x+4xa
3
=
ab2+b+1
3
>0,
即ab2+b+1>0,
a(b+
1
2a
2-
1
4a
+1>0,
当0<b≤2时成立,
当-
1
2a
≤0,a>0时,
则a(b+
1
2a
2-
1
4a
+1开口向上,-
1
2a
≤0<b≤2,
∴二次函数是增函数,
∴f(b)=a(b+
1
2a
2-
1
4a
+1>f(0)=1>0,成立.
当0<-
1
2a
≤1,a≤-
1
2
时,
则a(b+
1
2a
2-
1
4a
+1开口向下,
且b=2时有最小值
∴f(2)=4a+3>0,a>-
3
4

∴-
3
4
<a≤-
1
2

当1<-
1
2a
≤2,-
1
2
<a≤-
1
4
时,
则a(b+
1
2a
2-
1
4a
+1开口向下,
且b=0时有最小值,但b不取0
∴f(0)=1>0,成立.
-
1
2
<a≤-
1
4

当-
1
2a
>2,-
1
4
<a<0
时,
则a(b+
1
2a
2-
1
4a
+1开口向下,
0<b≤2<-
1
2a

∴f(b)是增函数
∴f(b)>f(0)=1>0,成立
∴-
1
4
<a<0.
综上所述:a>-
3
4
举一反三
已知函数f(x)=|lgx|,则f(
1
4
),f(
1
3
),f(2)的大小关系是______.
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已知偶函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R),
(Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)设g(x)=log4(a?2x-
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4
3
已知函数f(x)=loga[(3-a)x+a+1]在[1,2]上是减函数,则实数a的范围是______.
已知loga(x2+4)+loga(y2+1)=loga5+loga(2xy-1)(a>0,且a≠1),求log8
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y
x
为了得到函数y=lg
x+3
10
的图象,只需把函数y=lgx的图象上所有的点______.(怎样的变换)