已知函数。（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）指出该函数在区间(0，1]上的单调性，并用单调性定义证明；（Ⅲ）对于任意x∈[-1，1]，f（x）-lga≥0恒

题型：解答题难度：一般来源：0121 期末题

已知函数。
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）指出该函数在区间(0，1]上的单调性，并用单调性定义证明；
（Ⅲ）对于任意x∈[-1，1]，f（x）-lga≥0恒成立，求实数a的取值范围。

答案

解：（Ⅰ）函数的定义域为R，

∴f（x）是奇函数。
（Ⅱ）函数f（x）在区间(0，1]上是增函数，
用单调性定义证明如下：
设，则
，
，
∴，且，
∴，
即f（x）在(0，1]上是增函数。
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知当x∈[0，1]时，；
又f（x）是奇函数，根据对称性得，当x∈[-1，1]时，；
对于任意x∈[-1，1]，恒成立恒成立，
∴。