已知幂函数f（x）=xa经过点（2，2），（1）求函数f（x）的解析式．（2）求函数f（x）的定义域．（3）判断函数f（x）的单调性，并加以证明．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知幂函数f（x）=x^a经过点（2，

2

），
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）求函数f（x）的定义域．
（3）判断函数f（x）的单调性，并加以证明．

答案

（1）∵幂函数f（x）=x^a的图象经过点（2，

2

），
∴

2

=2^α，
∴α=

1

2

．
∴f（x）=x 

1

2

，
（2）f（x）=x 

1

2

的定义域是[0，+∞）；
（3）此函数在定义域上是增函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈[0，+∞）且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

x1

-

x2

=

x1 + x2

x1-x2

，
由于x₁，x₂∈[0，+∞）且x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，

x1

+

x2

＞0，可得

x1 + x2

x1-x2

＜0，
即有f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
故函数在定义域是增函数．