试题分析:(Ⅰ)由图形的对称性作出辅助线,用三角函数求出相关线段长度;(Ⅱ)设∠EOC=θ,与(Ⅰ)类似用三角函数表示出相关线段长度和矩形ABCD的面积,继而求关于θ的三角函数的最大值. 试题解析:如图,记的中点为E,连结OE,OC,交BC于F,交AD于G,则∠DOG=60°. 设∠EOC=θ(0°<θ<60°).
(Ⅰ)当=时,θ=30°. 在Rt△COF中,OF=OCcos30°=,CF=OCsin30°=1. 在Rt△DOG中,DG=CF=1,OG==. 所以CD=GF=OF-OG=. (Ⅱ)与(Ⅰ)同理, BC=2CF=4sinθ,CD=OF-OG=2cosθ-=2cosθ-sinθ. 则矩形ABCD的面积 S=BC·CD=4sinθ(2cosθ-sinθ)=4sin2θ- (1-cos2θ)=sin(2θ+30°)-. 因为30°<2θ+30°<150°,故当2θ+30°=90°, 即θ=30°时,S取最大值. |