.如果对任意一个三角形,只要它的三边长a,b,c都在函数f(x)的定义域内,就有f(a),f(b),f(c)也是某个三角形的三边长,则称f(x)为“保三角形函数
题型:不详难度:来源:
.如果对任意一个三角形,只要它的三边长a,b,c都在函数f(x)的定义域内,就有f(a),f(b),f(c)也是某个三角形的三边长,则称f(x)为“保三角形函数”. (1)判断下列函数是不是“保三角形函数”,并证明你的结论: ① f(x)= ; ② g(x)=sinx (x∈(0,π)). (2)若函数h(x)=lnx (x∈[M,+∞))是保三角形函数,求M的最小值. |
答案
(1)f(x)= 是保三角形函数,g(x)=sinx (x∈(0,π))不是保三角形函数. (2)M的最小值为2. |
解析
① f(x)= 是保三角形函数. 对任意一个三角形的三边长a,b,c,则a+b>c,b+c>a,c+a>b, f(a)= ,f(b)= ,f(c)= . 因为(+)2=a+2+b>c+2>()2,所以+>. 同理可以证明:+>,+>. 所以f(a)、f(b)、f(c)也是某个三角形的三边长,故 f(x)= 是保三角形函数. ②g(x)=sinx (x∈(0,π))不是保三角形函数. 取,显然这三个数能作为一个 三角形的三条边的长. 而sin=1,sin=,不能作为一个三角形的三边长. 所以g(x)=sinx (x∈(0,π))不是保三角形函数. (i)首先证明当M≥2时,函数h(x)=lnx (x∈[M,+∞))是保三角形函数. 对任意一个三角形三边长a,b,c∈[M,+∞),且a+b>c,b+c>a,c+a>b, 则h(a)=lna,h(b)=lnb,h(c)=lnc. 因为a≥2,b≥2,a+b>c,所以(a-1)(b-1)≥1,所以ab≥a+b>c,所以lnab>lnc, 即lna+lnb>lnc. 同理可证明lnb+lnc>lna,lnc+lna>lnb. 所以lna,lnb,lnc是一个三角形的三边长. 故函数h(x)=lnx (x∈[M,+∞),M≥2),是保三角形函数. (ii)其次证明当0<M<2时,h(x)=lnx (x∈[M,+∞))不是保三角形函数. 当0<M<2时,取三个数M,M,M2∈[M,+∞), 因为0<M<2,所以M+M=2M>M2,所以M,M,M2是某个三角形的三条边长, 而lnM+lnM=2lnM=lnM2,所以lnM,lnM,lnM2不能为某个三角形的三边长, 所以h(x)=lnx不是保三角形函数. 所以,当M<2时,h(x)=lnx (x∈[M,+∞))不是保三角形函数. 综上所述:M的最小值为2. |
举一反三
某港口水的深度(米)是时间(,单位:时)的函数,记作,下面是某日水深的数据:
(时)
| 0
| 3
| 6
| 9
| 12
| 15
| 18
| 21
| 24
| (米)
| 10.0
| 13.0
| 9.9
| 7.0
| 10.0
| 13.0
| 10.1
| 7.0
| 10.0
| 经长期观察,的曲线可以近似地看成函数. ⑴试根据以上数据,求出函数的最小正周期、振幅和表达式; ⑵一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为米或米以上时认为安全的(船舶停靠时,船底只须不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为米.如果该船希望在同一天内安全进出港,请问,它至多能在港内停留多长 时间(忽略进出港所需的时间)? |
如下图,货轮在海上以40 km/h的速度由B航行到C,航行的方位角∠NBC=140°,A处有灯塔,其方位角∠NBA=110°.在C处观测灯塔A的方位角∠N′CA=35°.由B到C需航行半小时,则C到灯塔A的距离是 km。 |
a为何值时,方程sin2x+2sinxcosx-2cos2x=a有实数解. |
如图,考虑点,,,.你能从这个图出发,推导出公式吗?
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