已知函数f（x）=2sin2x+23sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期和最大值；（2）求f（x）在[0，π2]上的值域．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx+1．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求f（x）在[0，

π

2

]上的值域．

答案

（1）因为f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx+1=1-cos2x+

3

sin2x+1…（2分）=2sin(2x-

π

6

)+2…（4分）
所以f（x）的最小正周期T=

2π

ω

=

2π

2

=π，最大值为4．…（7分）
（2）∵x∈[0，

π

2

]
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，…（9分）
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1 …（12分）
所f（x）在[0，

π

2

]上的值域[1，4]…（14分）