已知函数f(x)=2sin2x+23sinxcosx+1.求:(Ⅰ)f(x)的最小正周期;(Ⅱ)f(x)的单调递增区间;(Ⅲ)f(x)在[0,π2]上的最值.
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已知函数f(x)=2sin2x+23sinxcosx+1.求:(Ⅰ)f(x)的最小正周期;(Ⅱ)f(x)的单调递增区间;(Ⅲ)f(x)在[0,π2]上的最值.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f(x)=2si
n
2
x+2
3
sinxcosx+1.
求:
(Ⅰ)f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)f(x)的单调递增区间;
(Ⅲ)f(x)在
[0,
π
2
]
上的最值.
答案
(Ⅰ)因为
f(x)=2si
n
2
x+2
3
sinxcosx+1
=
1-cos2x+2
3
sinxcosx+1
=
3
sin2x-cos2x+2
=
2sin(2x-
π
6
)+2
,
所以f(x)的最小正周期
T=
2π
2
=π.
(Ⅱ)因为
f(x)=2sin(2x-
π
6
)+2
,
所以由
2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
(k∈Z)
,
得
kπ-
π
6
≤2x-
π
3
(k∈Z).
所以f(x)的单调增区间是
[kπ-
π
6
,kπ+
π
3
](k∈Z).
(Ⅲ)因为
0≤x≤
π
2
,所以-
π
6
≤2x-
π
6
≤
5π
6
.
所以
-
1
2
≤sin(2x-
π
6
)≤1.
所以
f(x)=2sin(2x-
π
6
)+2∈[1,4].
即f(x)的最小值为1,最大值为4.
举一反三
已知函数
f(x)=sin
x
2
•cos
x
2
+
3
si
n
2
x
2
+
3
2
.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期,并写出函数f(x)图象的对称轴方程;
(Ⅱ)若x∈[0,π],求函数f(x)的值域.
题型:朝阳区一模
难度:
|
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2
(x-
π
6
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难度:一般
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难度:一般
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难度:
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