由3sinβ=sin(2α+β)得3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),化简得sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα, ∴tan(α+β)=2tanα, ∴tanβ=tan(α+β-α)= ==. 由题意知,tanα>0, ∴+2tanα≥2 (当且仅当=2tanα,即tanα=时等号成立), ∴tanβ的最大值为=. 【方法技巧】三角函数和差公式的灵活应用 (1)三角函数和差公式在三角函数式的化简和求值中经常用到,因此公式的灵活应用非常关键,公式可以正用、逆用、变形应用. (2)逆用关键在于构造公式的形式,方法是通过三角恒等变换,出现和或差的形式,即出现能逆用公式的条件;有时通过两式平方相加减,利用平方关系式,切函数化成弦函数等技巧. |