设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且atanB=203，bsinA=4．（Ⅰ）求cosB和边长a；（Ⅱ）若△ABC的面积S=10，求cos4

题型：解答题难度：一般来源：不详

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且atanB=

20

3

，bsinA=4．
（Ⅰ）求cosB和边长a；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=10，求cos4C的值．

答案

（Ⅰ）因为

a

sinA

=

b

sinB

，所以asinB=bsinA=4，
又atanB=

20

3

，即

asinB

cosB

= 

20

3

，
所以cosB=

3

5

；
则sinB=

4

5

，tanB=

4

3

，
所以a=

20

3

×

3

4

=5．
（Ⅱ）由S=

1

2

acsinB=

1

2

×4c=10，得c=5．
又a=5，所以A=C．
所以cos4C=2cos²2C-1
=2cos²（A+C）-1
=2cos²B-1
=2×(

3

5

)2-1
=-

7

25

．