已知△ABC的周长为6,且3cosA+B2=sinC.(1)求角C;(2)求△ABC面积的最大值.
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已知△ABC的周长为6,且3cosA+B2=sinC.(1)求角C;(2)求△ABC面积的最大值.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知△ABC的周长为6,且
3
cos
A+B
2
=sinC
.
(1)求角C;
(2)求△ABC面积的最大值.
答案
(1)
3
cos
A+B
2
=
3
cos
π-C
2
=
3
sin
C
2
=2sin
C
2
cos
C
2
…(2分)
因为0<C<π,所以
sin
C
2
≠0
,则
cos
C
2
=
3
2
…(3分)
所以
C
2
=
π
6
,即
C=
π
3
…(5分)
(2)c
2
=a
2
+b
2
-2abcosC=a
2
+b
2
-ab,…(6分)
又c=6-a-b,则a
2
+b
2
-ab=(6-a-b)
2
=36+a
2
+b
2
-12a-12b+2ab(7分)
整理可得,4(a+b)=12+ab…(8分)
12+ab=4(a+b)≥4×2
ab
=8
ab
所以
ab-8
ab
+12≥0
…(9分)
则
ab
≤2
或
ab
≥6
,…(10分)
若
ab
≥6
,则ab≥36,那么4(a+b)=12+ab≥48,即a+b≥12,这与周长为6相矛盾,应舍去,
因此,
ab
≤2
,则ab≤4…(12分)
所以
S
△ABC
=
1
2
absinC=
3
4
ab≤
3
…(14分)
当且仅当a=b=c=2时等号成立,
所以,△ABC的面积有最小值为
3
…(15分)
举一反三
设△ABC中,
cosA=
3
5
,sinB=
5
13
,则cosC的值为( )
A.
56
65
B.
-
16
65
C.
16
65
D.
56
65
或
-
16
65
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
阅读下面材料:根据两角和与差的正弦公式,有
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ------③
令α+β=A,α-β=β 有α=
A+B
2
,β=
A-B
2
代入③得 sinA+subB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
.
(Ⅰ) 类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
;
(Ⅱ)求值:sin
2
20°+cos
2
50°+sin20°cos50°(提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
cos
5π
3
=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
tan
15π
4
=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
如果sin(π+A)=
1
2
,那么cos(
3π
2
-A
)的值是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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