已知函数f(x)=(sinx2+cosx2)2-2sin2x2.(I)若f(x)=233,求sin2x的值;(II)求函数F(x)=f(x)•f(-x)+f2(

已知函数f(x)=(sinx2+cosx2)2-2sin2x2.(I)若f(x)=233,求sin2x的值;(II)求函数F(x)=f(x)•f(-x)+f2(

题型:解答题难度:一般来源:泰安二模
已知函数f(x)=(sin
x
2
+cos
x
2
)2-2sin2
x
2

(I)若f(x)=
2


3
3
,求sin2x的值;
(II)求函数F(x)=f(x)•f(-x)+f2(x)的最大值与单调递增区间.
答案
f(x)=(sin
x
2
+cos
x
2
)
2
-2sin2
x
2
=1+2sin
x
2
cos
x
2
-(1-cosx)
∴f(x)=sinx+cosx
(I)f(x)=sinx+cosx=
2


3
3
,两边平方得(sinx+cosx)2=
4
3

∴1+2sinxcosx=
4
3
,可得2sinxcosx=
1
3
,即sin2x=
1
3

(II)∵f(x)•f(-x)=(sinx+cosx)(-sinx+cosx)=cos2x-sin2x=cos2x,
f2(x)=(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx=1+sin2x
∴函数F(x)=f(x)•f(-x)+f2(x)=1+sin2x+cos2x,
化简,得数F(x)=


2
sin(2x+
π
4
)+1
当2x+
π
4
=
π
2
+2kπ时,即x=
π
8
+kπ(k∈Z)时,函数F(x)的最大值为


2
+1
令-
π
2
+2kπ<2x+
π
4
π
2
+2kπ(k∈Z),得-
8
+kπ<x<
π
8
+kπ
∴函数F(x)单调递增区间为(-
8
+kπ,
π
8
+kπ).
举一反三
已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x-2.
(1)求f(x)函数图象的对称轴方程;
(2)求f(x)的单调增区间.
(3)当x∈[
π
4
4
]
时,求函数f(x)的最大值,最小值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=asinx-bcosx(ab≠0)满足f(
π
4
-x)=f(
π
4
+x)
,则直线ax+by+c=0的斜率为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=4sin2x+2cos(2x-
π
3
)

(Ⅰ)若存在x0∈[
π
4
3
]
,使mf(x0)-4=0成立,求实数m的取值范围;
 (Ⅱ)若x∈[0,
π
2
]
f(x)=
5
2
,求sin2x的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知角α的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(-3,


3
)

(1)求sin2α-tanα的值;
(2)若函数f(x)=cos(x-α)cosα-sin(x-α)sinα,求函数y=


3
f(
π
2
-2x)-2f2(x)
在区间[0,
3
]
上的取值范围.
题型:钟祥市模拟难度:| 查看答案
已知函数f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).若函数y=f(2x+
π
4
)的图象关于直线x=
π
6
对称,则φ的值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
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