已知向量a=(1+sin2x，sinx-cosx)，b=(1，sinx+cosx)，函数f(x)=a•b．（1）求f（x）的最大值及相应的x的值；（2）若f(θ

题型：解答题难度：一般来源：安徽模拟

已知向量

a

=(1+sin2x，sinx-cosx)，

b

=(1，sinx+cosx)，函数f(x)=

a

•

b

．
（1）求f（x）的最大值及相应的x的值；
（2）若f(θ)=

8

5

，求cos2(

π

4

-2θ)的值．

答案

（1）因为

a

=(1+sin2x，sinx-cosx)，

b

=(1，sinx+cosx)，
所以f（x）=1+sin2x+sin²x-cos²x=1+sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)+1
因此，当2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

3

8

π（k∈Z）时，f（x）取得最大值

2

+1；

（2）由f（θ）=1+sin2θ-cos2θ及f(θ)=

8

5

得sin2θ-cos2θ=

3

5

，
两边平方得1-sin4θ=

9

25

，即sin4θ=

16

25

．
因此，cos2(

π

4

-2θ)=cos(

π

2

-4θ)=sin4θ=

16

25

．