已知函数f（x）=sin（π-ωx2）cosωx2+cos2ωx2-12，（ω＞0）（1）若函数y=f（x）的周期为π，将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=sin（π-

ωx

2

）cos

ωx

2

+cos²

ωx

2

-

1

2

，（ω＞0）
（1）若函数y=f（x）的周期为π，将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍（纵坐标不变），再把所得的函数图象向右平移

π

8

个单位得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）解析式，并求其对称中心．
（2）若函数y=f（x）在[

π

2

，π]上是减函数，求ω的取值范围．

答案

（1）由于函数f（x）=sin（π-

ωx

2

）cos

ωx

2

+cos²

ωx

2

-

1

2

=

1

2

sinωx+

1+cosωx

2

-

1

2

=

2

2

sin（ωx+

π

4

），
由周期π=

2π

ω

 可得ω=2，故f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）．
函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍，可得函数y=

2

2

sin（4x+

π

4

）的图象，
再把所得的函数图象向右平移

π

8

个单位得到函数y=g（x）=

2

2

sin[4（x-

π

8

）+

π

4

]
=

2

2

sin（4x+

π

4

）的图象．
令4x+

π

4

=kπ，解得 x=

kπ

4

-

π

16

，k∈z，故g（x）的对称中心为（

kπ

4

-

π

16

，0），k∈z．
（2）由于函数f（x）=

2

2

sin（ωx+

π

4

） 在[

π

2

，π]上是减函数，
故有

π

2

≤ω•

π

2

+

π

4

 且ω•

π

2

+

π

4

≤

3π

2

，可得

1

2

≤ω≤

5

4

，
故ω的取值范围为[

1

2

，

5

4

]．