已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数。（1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）的值域和最小正周期；（2）若f（x）=2

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已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数。
（1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）的值域和最小正周期；
（2）若f（x）=2f′（x），求的值。

答案

解：（1）∵f′（x）=cosx-sinx，
∴F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）
=cos²x-sin²x+1+2sinxcosx
=1+sin2x+cos2x
=
函数F（x）的值域为
最小正周期为。
（2）∵f（x）=2f′（x）sinx+cosx=2cosx-2sinx，
∴cosx=3sinxtanx=
∴
。