已知α，β∈R，写出用cosα，cosβ，sinα，sinβ表示cos（α-β）的关系等式，并证明这个关系等式．

题型：不详难度：来源：

已知α，β∈R，写出用cosα，cosβ，sinα，sinβ表示cos（α-β）的关系等式，并证明这个关系等式．

答案

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．-----（2分）
证明：如图，在平面直角坐标系xoy内作单位圆O，以Ox为始边作角α、β，它们的终边与单位圆的交点分别为A，B．
则

OA

=（cosα，sinα），

OB

=（cosβ，sinβ），
由向量数量积的定义，有

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|cos＜

OA

，

OB

＞=cos＜

OA

，

OB

＞，
由向量数量积的坐标表示，有

OA

•

OB

=cosαcosβ+sinαsinβ．
于是cos＜

OA

，

OB

＞=cosαcosβ+sinαsinβ．①------（7分）
对于任意的α、β，总可选取适当的整数k，使得 α-β=＜

OA

，

OB

＞+2kπ，或α-β=-＜

OA

，

OB

＞+2kπ，
故对于任意的α、β，总有 cos（α-β）=cos＜

OA

，

OB

＞成立，带入①式得，
对 α、β∈R，总有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ 成立．------（12分）