定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点），记平

题型：高考真题难度：来源：

定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点），记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S。
（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）²+y²=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x₀处取得最大值，当点M在圆C上运动时，求tan2x₀的取值范围。

答案

解：（1）g（x）=3sin（x+ ）+4sinx=4sinx+3cosx，
其‘相伴向量’ =（4，3），g（x）∈S。
（2）h（x）=cos（x+α）+2cosx =（cosxcosα-sinxsinα）+2cosx =-sinαsinx+（cosα+2）cosx
∴函数h（x）的‘相伴向量’ =（-sinα，cosα+2）
则| |= = 。
（3）的‘相伴函数’f（x）=asinx+bcosx=sin（x+φ），
其中cosφ=，sinφ=．
当x+φ=2kπ+，k∈Z时，f（x）取到最大值，故x₀=2kπ+-φ，k∈Z
∴tanx₀=tan（2kπ+-φ）=cotφ=，tan2x₀===
为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[-，0）∪（0，]
令m=，则tan2x₀=，m∈[-，0）∪（0，}
当-≤m＜0时，函数tan2x₀=单调递减，
∴0＜tan2x₀≤；
当0＜m≤时，函数tan2x₀=单调递减，
∴-≤tan2x₀＜0
综上所述，tan2x₀∈[-，0）∪（0，]。