已知函数f（x）=．（I）化简函数f（x）的解析式，并求其定义域和单调区间；（Ⅱ）若f（α）=，求sin2α的值．

题型：山东省期末题难度：来源：

已知函数f（x）=．
（I）化简函数f（x）的解析式，并求其定义域和单调区间；
（Ⅱ）若f（α）=，求sin2α的值．

答案

解：（I）函数f（x）===（cosx+sinx）= sin（x+）． 由题意可得sin（x﹣）≠0，故x﹣≠kπ，
故定义域为{x|x≠kπ+，k∈z}．
由 2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈z，解得 2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈z，
故函数的增区间为 （ 2kπ﹣，2kπ+），k∈z．
由 2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，解得 2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈z，
故函数的减区间为（ 2kπ+，2kπ+ ），k∈z．
（Ⅱ）∵f（α）=（cosα+sinα）=，
∴cosα+sinα=，
求得 sin2α=（cosα+sinα）²﹣1=﹣．