设虚数z满足|2z+3|=3|.z+2|.(1)求证:|z|为定值.(2)是否存在实数k,使zk+kz为实数?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.

设虚数z满足|2z+3|=3|.z+2|.(1)求证:|z|为定值.(2)是否存在实数k,使zk+kz为实数?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.

题型:不详难度:来源:
设虚数z满足|2z+3|=


3
|
.
z
+2|

(1)求证:|z|为定值.
(2)是否存在实数k,使
z
k
+
k
z
为实数?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
答案
(1)依题意,设z=x+yi(x,y∈R,y≠0)…2′
代入|2z+3|=


3
|
.
z
+2|
得|(2x+3)+2yi|=


3
|(x+2)-yi|,
整理得:x2+y2=3,即|z|=


3
…6′
(2)设存在实数k,使得
z
k
+
k
z
为实数,
z
k
+
k
z
=
x+yi
k
+
k
x+yi

=
x+yi
k
+
k(x-yi)
(x+yi)(x-yi)

=
x+yi
k
+
k(x-yi)
3

=(
x
k
+
kx
3
)+(
y
k
-
ky
3
)i∈R,
y
k
-
ky
3
=0,
∵y≠0,
∴k=±


3

故存在实数k且k=±


3
,使
z
k
+
k
z
为实数…12′
举一反三
若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a=______.
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已知复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i,当实数m为何值时,
(1)z为实数;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数.
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若复数
a+3i
2+9i
为实数,则实数a=______.
题型:不详难度:| 查看答案
当实数m取何值时,复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的点
(1)位于第四象限?
(2)位于第一、三象限?
(3)位于直线y=x上?
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求满足条件-2+a-(b-a)i>-5+(a+2b-6)i的实数a,b的取值范围.
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