设虚数z满足|2z+3|=3|.z+2|.(1)求证:|z|为定值.(2)是否存在实数k,使zk+kz为实数?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
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设虚数z满足|2z+3|=3|.z+2|.(1)求证:|z|为定值.(2)是否存在实数k,使zk+kz为实数?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
来源:
设虚数z满足
|2z+3|=
3
|
.
z
+2|
.
(1)求证:|z|为定值.
(2)是否存在实数
k,使
z
k
+
k
z
为实数?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
答案
(1)依题意,设z=x+yi(x,y∈R,y≠0)…2′
代入
|2z+3|=
3
|
.
z
+2|
得|(2x+3)+2yi|=
3
|(x+2)-yi|,
整理得:x
2
+y
2
=3,即|z|=
3
…6′
(2)设存在实数k,使得
z
k
+
k
z
为实数,
则
z
k
+
k
z
=
x+yi
k
+
k
x+yi
=
x+yi
k
+
k(x-yi)
(x+yi)(x-yi)
=
x+yi
k
+
k(x-yi)
3
=(
x
k
+
kx
3
)+(
y
k
-
ky
3
)i∈R,
∴
y
k
-
ky
3
=0,
∵y≠0,
∴k=±
3
.
故存在实数k且k=±
3
,使
z
k
+
k
z
为实数…12′
举一反三
若复数(a
2
-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a=______.
题型:不详
难度:
|
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已知复数z=(m
2
+5m+6)+(m
2
-2m-15)i,当实数m为何值时,
(1)z为实数;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数.
题型:不详
难度:
|
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若复数
a+3i
2+9i
为实数,则实数a=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
当实数m取何值时,复平面内表示复数z=(m
2
-8m+15)+(m
2
-5m-14)i的点
(1)位于第四象限?
(2)位于第一、三象限?
(3)位于直线y=x上?
题型:不详
难度:
|
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求满足条件-2+a-(b-a)i>-5+(a+2b-6)i的实数a,b的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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