已知Z1=x2+ix2+1，Z2=（x2+a）i对于任意实数x，都有|Z1|＞|Z2|恒成立，试求实数a的取值范围．

题型：不详难度：来源：

已知Z1=x2+i

x2+1

，Z₂=（x²+a）i对于任意实数x，都有|Z₁|＞|Z₂|恒成立，试求实数a的取值范围．

答案

由题意得，|Z1|=

x4+x2+1

，|Z2|=

x4+a2

，|Z1|=

x4+x2+1

，|Z2|=

x4+a2+2ax2

∵|Z₁|＞|Z₂|，∴|Z₁|²＞|Z₂|²，
即x⁴+x²+1＞x⁴+a²+2ax²，（1-2a）x²+（1-a²）＞0，对任意x∈R成立，当a=

1

2

时，不等式成立，
当1-2a≠0时，

1-2a＞0 -4(1-2a)(1-a2)＜0

解得-1＜a＜

1

2

，
∴实数a的取值范围是（-1，

1

2

]