解:(Ⅰ)若,则;; ; ; . 若,则 ; ; ; . ………4分 (Ⅱ)先证存在性,若数列满足及,则定义变换,变换将数列变为数列:. 易知和是互逆变换. ………5分 对于数列连续实施变换(一直不能再作变换为止)得 , 则必有(若,则还可作变换).反过来对作有限次变换,即可还原为数列,因此存在数列满足条件. 下用数学归纳法证唯一性:当是显然的,假设唯一性对成立,考虑的情形. 假设存在两个数列及均可经过有限次变换,变为,这里, 若,则由变换的定义,不能变为; 若,则,经过一次变换,有 由于,可知(至少3个1)不可能变为. 所以,同理令, , 则,所以,. 因为, , 故由归纳假设,有,. 再由与互逆,有 , , 所以,,从而唯一性得证. ………9分 (Ⅲ)显然,这是由于若对某个,,则由变换的定义可知, 通过变换,不能变为.由变换的定义可知数列每经过一次变换,的值或者不变,或者减少,由于数列经有限次变换,变为数列时,有,, 所以为整数,于是,, 所以为除以后所得的余数,即.………13分 |