已知数列{an}的首项为a1=1,且数列的前n项和Sn=n2an(n∈N*).(1)求a2,a3,a4,a5的值;(2)猜想数列{an}(3)的通项公式,并用数
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已知数列{an}的首项为a1=1,且数列的前n项和Sn=n2an(n∈N*). (1)求a2,a3,a4,a5的值; (2)猜想数列{an}(3)的通项公式,并用数学归纳法加以证明. |
答案
(1)∵Sn=n2an,∴an+1=Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an ∴an+1=an ∴a2=,a3=,a4=,a5=, (2)猜测an=;下面用数学归纳法证 ①当n=1时,结论显然成立. ②假设当n=k时结论成立,即ak= 则当n=k+1时,ak+1=ak=×= 故当n=k+1时结论也成立. 由①、②可知,对于任意的n∈N*,都有an= |
举一反三
对于数列{xn},如果存在一个正整数m,使得对任意的n(n∈N*)都有xn+m=xn成立,那么就把这样一类数列{xn}称作周期为m的周期数列,m的最小值称作数列{xn}的最小正周期,以下简称周期.例如当xn=2时,{xn}是周期为1的周期数列,当yn=sin(n)时,{yn}的周期为4的周期数列. (1)设数列{an}满足an+2=λ•an+1-an(n∈N*),a1+a,a2=b(a,b不同时为0),且数列{an}是周期为3的周期数列,求常数λ的值; (2)设数列{an}的前n项和为Sn,且4Sn=(an+1)2. ①若an>0,试判断数列{an}是否为周期数列,并说明理由; ②若anan+1<0,试判断数列{an}是否为周期数列,并说明理由. (3)设数列{an}满足an+2=-an+1-an(n∈N*),a1=1,a2=2,bn=an+1,数列{bn}的前n项和Sn,试问是否存在p、q,使对任意的n∈N*都有p≤≤q成立,若存在,求出p、q的取值范围;不存在,说明理由. |
甲、乙两人用农药治虫,由于计算错误,在A、B两个喷雾器中分别配制成12%、6%的药水各10千克,实际上两个喷雾器中农药浓度本应是一样的,现在只有两个容量为1千克的药瓶,他们从A、B两喷雾器中分别取1千克的药水,将A中取得的倒入B中,B中取得的倒入A中,这样操作进行3n次后,A喷雾器药水成了含有an%的药水,B喷雾器药水成了含有bn%的药水. ①证明:an+bn是一个常量 ②建立an与an-1的关系式 ③按照这样的方式进行下去,他们能否得到浓度大致相同的药水. |
在数列-1,0,,,…,,…中,是它的第______项. |
已知a1=1,an+1=an+(n∈N*),则a4=______. |
对数列{an},若存在正常数M,使得对任意正整数n,都有|an|<M,则称数列{an}是有界数列.下列三个数列:an=(1-2n);an=;an=()n-()n中,为有界数列的个数是( ) |
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